Краевые условия. Процесс распространения тепла в любой точке тела и в каждый момент времени удовлетворяет диференциальному уравнению теплопроводности (3.2). Чтобы рассчитывать процессы, недостаточно располагать уравнением теплопроводности, так как оно не устанавливает зависимости температуры от пространствен-* ных координат и от времени, а лишь связывает между собой част­ные производные температуры по этим переменным.

Для того, чтобы рассчитать процесс распространения тепла, необходимо, кроме диференциального уравнения теплопроводности, задать краевые условия, т. е. начальное распределение температуры в теле и условия теплообмена на границах тела.

1. Начальное распределение темпера­

туры задается во всем объеме тела в определенный момент про­цесса t = 0, принимаемый за начало отсчета времени

Т (x, y,z}0)^=T0{x, y)z). (4.1)

К этому исходному температурному состоянию как бы «при­страивается» последующий процесс распространения тепла. Если
температура тела в начальный момент равна нулю, процесс рас­пространения тепла может быть обусловлен действием источни­ков тепла — внутренних или внешних.

2. Граничные условия выражают тепловое взаимо­действие поверхности теплопроводящего тела с окружающей сре­дой. Неограниченное теплопроводящее тело характеризуется тем, что во всем его объеме процесс распространения тепла подчиняется уравнению теплопроводности. Таких тел в действительности не су­ществует, тела с заданными свойствами всегда ограничены. Рассмат­ривая местный процесс распространения тепла, протекающий вдали от границ тела, часто оказывается удобным считать тело неограни­ченным, так как наличие границ тела сказывается тем позже, чем более удаленную от них часть тела мы рассматриваем. Поэтому неограниченное тело (трех измерений), неограниченная пластина и неограниченный стержень являются схемами, часто применяемыми при расчетах на теплопроводность.

Условия, которые задаются на поверхности ограниченного тела, как бы выделяют из бесконечного пространства область, в которой процесс распространения тепла обусловлен теплопроводностью. Граничные условия могут быть весьма разнообразны. Для практи­ческих расчетов наиболее интересны следующие типы граничных условий, называемые условиями 1-го, 2-го и 3-го рода.

Условие 1-го рода. Температура поверхности теплопроводящего тела задается в зависимости от поверхностных координат и от вре­мени Ts~ Ts (x, y,z, t)B Граничное условие 1-го рода требует, чтобы температура граничных точек равнялась заданной, как бы ни была распределена температура внутри тела. При графическом изображении распределения температуры кривая температуры на границе должна иметь заданную ординату, которая может изме­няться со временем.

Изотермическое граничное условие представляет частный случай условия 1-го рода. При изотермической границе температуру поверхности тела принимают постоянной Ts = const, как, например, при интенсивном смывании поверхности жидкостью с определенной температурой (фиг. 11,а). Для расчетов удобно принимать эту постоянную температуру поверхности за начало отсчета температуры, тогда граничное условие выражается осо­бенно просто (фиг. 11, б).

т, = 0. (4.2)

Условие 2-го рода. При этом задают распределение удельного теплового потока через поверхность тела в зависимости от поверх­ностных координат и от времени qs = qs(x, у, г, t). Условие 2-го рода задает величину теплового потока на границе, т. е. кривая тем­пературы на границе может иметь любую ординату, но обязательно заданный градиент, в частном случае постоянный (фиг. 11,а).

Адиабатическая граница представляет частный случай условия 2-го рода. При адиабатическом условии тепловой

Подпись: Фиг. 11. Типы условий теплообмена на границах тела (граничных условий): а и б —* услорие 1-го рода, (изотермическая гранича) в и г — условие 2-го рода; г — адиабатическая гранима д — услогие 3-г^ рода—теплог^іен на Гранине со средой постоянной температуры; е—то же со средой нулевой температуры.

поток через границы равен нулю (фиг. 11,г). Если теплообмен тела с окружающей средой незначителен в сравнении с тепловыми потоками внутри тела, поверхность тела молено считать практи­чески непропускающей тепла. Очевидно, что в любой точке адиа-

Подпись: = 0; Подпись: дТ дп Подпись: (4.3)

батической границы s удельный тепловой поток и пропорциональ­ный ему градиент по нормали к поверхности равны нулю:

Условие 3-го рода. При этом задают теплообмен на границе со средой заданной температуры. Правило Ньютона выражает, что удельный поток теплоотдачи qs через граничную поверхность s пропорционален разности температур граничной поверхности Ts и окружающей среды Т0:

Яs=a(Ts — T0). (а)

Удельный поток тепла, подтекающего к граничной поверхности

со стороны теплопроводящего тела, по закону Фурье пропорциона­лен градиенту температуры по нормали к граничной поверхности

(б)

Приравнивая удельные потоки притекающего и уходящего тепла [уравнения (а) и (б)], получим простейшее условие 3-го рода

КРАЕВЫЕ условия и методы расчета(в)

выражающее, что градиент температуры по нормали к граничной поверхности пропорционален перепаду температуры между гранич­ной поверхностью и окружающей средой. Это условие требует, чтобы касательная к кривой распределения температуры в гранич­ной точке проходила через направляющую точку О с температу­рой Т0, находящуюся вне тела на расстоянии Л/а от граничной поверхности (фиг. 11, д).

В частном случае постоянной температуры окружаю­щей среды, Т0 — const для расчетов удобно принимать эту постоян­ную температуру за начало отсчета температур, т. е. Т() = 0. Тогда граничное условие 3-го рода выражается наиболее просто (фиг. И, а)

КРАЕВЫЕ условия и методы расчета(4-4)

Правило Ньютона лишь приближенно описывает реальный теп­лообмен конвекцией и излучением между поверхностью твердого тела и окружающей жидкой или газообразной средой. При расчете процессов распространения тепла в металлах, обладающих большой теплопроводностью, условие теплообмена (4.4) позволяет полу­чать приближенные решения с удовлетворительной точностью.

Изотермическое условие представляет предельный случай уело-

вия теплообмена на границе при 4—» со, т. е. когда коэфициент теп-

лоотдачи настолько велик, а коэфициент теплопроводности настолько мал, что температура поверхности оказывается близкой к постоян­ной температуре окружающей среды. Например, при гранулиро­вании флюса в воде омываемая струей воды поверхность зерен флюса быстро приобретает температуру воды.

Адиабатическое условие представляет другой предельный слу­чай условия теплообмена на границе при ^ —» 0, т. е. когда при весь­ма малом коэфициенте теплоотдачи и значительном коэфициенте теплопроводности поток тепла через граничную поверхность при­ближается к нулю. Поверхность металлического изделия, сопри­касающегося со спокойным воздухом, при недолгом процессе может приниматься адиабатической, так как действительный поток теп­лообмена через поверхность незначителен. При длительном про­цессе поверхностный теплообмен успевает отнять у металла зна­чительное количество тепла, и пренебрегать им уже нельзя.

Выбирая для расчета тип того или иного простейшего гранич­ного условия, следует помнить, что в действительности поверхность твердого тела всегда обменивается теплом с жидкой или газообразной

средой. Можно приближенно считать границу тела изотермической в тех случаях, когда интенсивность поверхностного теплообмена заведомо велика, и адиабатической —■ если эта интенсивность за — ведомо мала.

Методы расчета. Для решения задач теплопроводности приме­няют аналитические методы и численный метод. Аналитические методы состоят в подборе уравнения процесса, удовлетворяющего диференциальному уравнению теплопроводности и краевым усло­виям. Из аналитических методов наиболее часто применяются метод Фурье, метод источников и операторный метод. В дальнейшем мы будем применять только метод источников как наиболее простой и удовлетворительно описывающий распределение температуры во многих случаях нагрева металла при сварке.

Существующие аналитические методы дают возмож­ность получать решения только для процессов, описываемых линей­ными диференциальными уравнениями при линейных граничных условиях, т. е. для тех случаев, когда коэфициенты теплофизических свойств — теплопроводность X и объемную теплоемкость су, а также коэфициент теплоотдачи а можно считать независящими от темпе­ратуры. Аналитические методы приводят к общим уравнениям про­цессов, действительным при разнообразных числовых значениях параметров, характеризующих данную задачу, — геометрических размеров, тепловых характеристик режима нагрева и физических свойств металла. Б простейших задачах удается получить решение в замкнутой форме, т. е. выразить уравнение процесса через изу­ченные функции от времени, пространственных координат и постоян­ных параметров процесса. В более сложных задачах решения опи­сываются определенными интегралами или бесконечными рядами.

При расчетах по численному методу диференциальное уравнение теплопроводности заменяется соответствующим уравне­нием в конечных разностях. Такое уравнение дает возможность рас­считывать процесс распространения тепла шаг за шагом, исходя из начального распределения температуры. Расчеты можно вести только для данных условий задачи при определенных числен­ных значениях всех постоянных параметров. Численный метод не дает подобно аналитическому общего решения задачи, но его целе­сообразно применять для инженерных расчетов в тех случаях, когда получение аналитического решения ввиду сложности условий задачи становится крайне трудоемким или вообще недоступным.

Чем проще условия задачи, тем легче получить простое и ясное аналитическое решение, описывающее процесс в общем виде и даю­щее возможность полного анализа процесса. Для получения такого решения часто оказывается необходимым упрощать постановку задачи. Но, схематизируя явление, нужно уловить и правильно оценить главные особенности изучаемого процесса, пренебрегая второстепенными. Для проверки применимости упрощенной схемы, для описания реального процесса распространения тепла весьма целесообразно ставить опыты с непосредственным измерением тем­пературы в отдельных точках тела (термопарами).

Учет зависимости коэфициентов теплофизических свойств ме­талла и теплоотдачи от температуры приводит к нелинейным дифе — ренциальным уравнениям процесса и к нелинейным граничным условиям и ведет к невозможности, получения расчетных уравнений процесса аналитическими методами. Для расчета процессов нагрева и охлаждения металла при сварке выбирают постоянные значения коэфициентов А, су, а и ос, соответствующие некоторой средней тем­пературе процесса. В диапазоне температур сварочного процесса — от температуры плавления металла до температуры окружающего воздуха — теплофизические коэфициенты значительно изменяются, особенно коэфициент теплоотдачи (см. фиг. 6). Средняя температура, которой соответствуют принимаемые для расчета значения тепло­физических коэфициентов, определяется из сопоставления опытных данных по измерению температуры с результатами расчета. Для расчета температуры при сварке малоуглеродистой стали следует принимать теплофизические коэфициенты металла А, су и а, соответ­ствующие средней температуре 400—500°, и коэфициент теплоот­дачи ос, соответствующий температуре 200—400°.