Подпись: Фиг 7 К расчету накопления тепла в элементе dx при линейном распро-странении тепла Процесс распространения тепла в твердом теле Т = Т(х, у> z, t) должен в каждом элементарном объеме у точки А(х, у, г) и в лю­бой момент времени t подчиняться закону сохранения энергии. В процессе распространения тепла температура каждого элементар­ного объема тела непрерывно из­меняется вследствие теплообмена с окружающим металлом через по­верхность, ограничивающую рас­сматриваемый элемент. Рассмотре­ние мгновенного теплового баланса произвольно выбранного элемента тела дает возможность получить диференциальное уравнение теп­лопроводности

Вывод диференциального урав­нения теплопроводности. Рассмот­рим сначала простейший случай линейного распространения тепла (фиг. 7) Дан неравномерно нагре­тый стержень с поперечным сече­нием F— 1. Направо от элемента длиной dx тепло qx уходит, а слева

тепло qx входит в данный элемент. Таким образом в процессе тепло­проводности элемент стержня получает и отдает тепло Зная гра­диенты слева и справа от элемента, можно подсчитать количество тепла, накапливающееся в нем Градиент слева несколько больше, чем справа, поэтому приток тепла qx слева несколько превышает

отток тепла qx^ направо. В рассматриваемом элементе накапли­вается тепло, Aqx = qx—qx^ которое повышает температуру дан­ного элемента.

Закон Фурье дает возможность рассчитать изменение тепло­содержания, а следовательно, и температуры данного элемента за единицу времени Такова схема расчета, которая применима и к пространственному потоку тепла.

В общем случае пространственного потока тепла рассмотрим тепловой баланс элементарного параллелепипеда у точки А со сто* ронами dx, dy, dz, параллельными координатным осям (фиг. 8).

2 Н. Н. Рыкалин

За время dt температура точки А повышается на dT> а теплосодер­жание элементарного объема соответственно увеличивается на dQ. Теплосодержание элемента А изменяется вследствие притока и оттока тепла через его грани, обусловленных теплообменом

Подпись: Фиг. 8. К выводу диференціаль-ного уравнения теплопроводности в общем случае пространственного потока тепла; X, У, Z — координатные оси в теплопро» водящем теле; А (х, у, г) — точка тела, около которой рыделен для рассмотрения теплового баланса элементарный парал-лелепипед dx dy dz Т (А)— мгновенное распределение температуры по осл, про-ходящей через точку А параллельно ОХ. с соседними элементами.

Рассмотрим раздельно теплооб­мен через грани, перпендикулярные координатным осям. Для расчета теплообмена через грани элементар­ного параллелепипеда, перпендику­лярные оси ОХ, рассмотрим рас­пределение температуры по прямой ssf проходящей через точку А па­раллельно оси ОХ. Градиент в точ­ке Л измеряется углом наклона к оси ОХ касательной в этой точке к температурной кривой grad Т= дТ

= Градиент в точке А

отстоящей от точки А на расстоя­нии dx, будет отличаться от гра­диента в точке А на бесконечно малую величину, , дТ

Удельный тепловой поток qx^dx^ Ях + &Ях через правую грань элемента отличается от теплового потока через его левую грань qx

на бесконечно малую величину dqx = ~ dx, так как в соот­ветствии с законом Фурье (1.7) потоки по любому направ­лению пропорциональны соответствующим градиентам темпера­туры. Через левую грань площадью dydz в рассматриваемый эле­мент объема dxdydz за элемент времени dt поступило количество тепла qxdydzdt, а через правую грань из элемента уходит коли­чество тепла qx + dx dydzdt. Так как количества поступающего и уходящего тепла не равны между собой, при протекании тепла в направлении ОХ через элемент объема в нем будет накапливаться количество тепла

до

dQx = qxdydzdt — qx+dxdydzdt=-— dqxdydzdt= — dxdydzdt. (a)

Подпись: и Подпись: dQy~~— ^Jldydxdzdt Подпись: (б)

Таким же образом вычисляются и количества тепла, накапли­вающиеся в элементарном параллелепипеде при протекании тепла через грани, перпендикулярные OY и OZ,

Общее накопление тепла в элементе объема у точки А составит dQ = dQx + dQy + dQz = — ~ 4- —) dxdydzdt. (r)

Подпись: д ( ду Подпись: '^ ду) ^ дг ( ^ дг) Подпись: (д)
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

По закону Фурье (1.7) тепловой поток по любому направлению пропорционален градиенту температуры по этому направлению. Поставим накопление тепла dQ в связь с градиентами температуры по направлениям осей координат

Тепло dQ, накапливающееся за время dt вследствие теплопро­водности в элементе dxdydz вещества с объемной теплоемкостью Су,

дТ

повышает его температуру на dT = ^ dt, т. е,

дТ

dQ = c~[-g-tdtdxdydz; (е)

(J 1 «

здесь щ—мгновенная скорость изменения температуры в данной

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

точке. Приравнивая правые части выражений (д) и (е) и сокращая, получим диференциальное уравнение теплопроводности:

Эта форма уравнения теплопроводности описывает процессы при переменном коэфициенте X, который может зависеть от коор­динат х, у, гу от времени или от температуры Т. В анизотропных телах, например в кристаллах, коэфициенты теплопроводности за­висят от направления кристаллографических осей. В составных телах, например в сердечниках трансформаторов, коэфициенты X различны в направлениях вдоль или поперек набора листов. В не­однородных телах, например, в составных изделиях из различных металлов, коэфициенты X и су неодинаковы в различных областях тела. В некоторых металлах резко выражена зависимость X и су от температуры.

Во всех перечисленных случаях следует вести расчет по урав­нению (2.7) с учетом переменности X и ср

Расчет существенно упрощается, если можно по условиям задачи принять козфициент теплопроводности X и объемную теплоемкость су постоянными.

Тогда уравнение теплопроводности принимает вид

д2Т д2Т д2Т

Диферендиальное выражение у2Г = ^ > представ­

ляющее сумму трех вторых частных производных функции Т (х, у, z, t) по осям х, у, г, называют оператором Лапласа для прямоугольной системы координат.

Закон Фурье (1 7) связывает удельный тепловой поток, характе­ризующий перемещение тепла, с распределением температуры в теле Диферендиальное уравнение теплопроводности (3.2) связы­вает скорость изменения температуры в данной точке с распреде­лением температуры в ее окрестности. Оператор Лапласа tfT вы­ражает отклонение температуры данной точки от средней темпе­ратуры окрестных точек. Положительный знак этого оператора озна­чает, что в данный момент тепло подводится к данной точке от со­седних, а отрицательный, — что тепло отводится от данной точки к соседним. Уравнение (3.2) выражает, что скорость изменения тем­пературы в данной точке пропорциональна оператору Лапласа. Иными словами, чем неравномернее распределена в данный момент температура в окрестности данной точки, тем быстрее изменяется температура этой точки тела. По мере распространения тепла вслед­ствие теплопроводности температура выравнивается, т. е. неравно­мерность распределения температуры в окрестности данной точки уменьшается, соответственно падает и скорость изменения темпе­ратуры в этой точке,

Коэфициент температуропроводности. Сложный параметр,

су

характеризующий свойства вещества, называют коэфициен — том температуропроводности. Коэфициент темпе­ратуропроводности характеризует скорость выравнивания темпера­туры при нестационарной теплопроводности. Размерность коэфи — циента а в системе физических единиц

Подпись: СМ2[СЄК>Р ___ [)] кал! см сек°С

Iа [cj [^] ~ кал/г°С-г/см3

а в технической — м2[час. Переводной коэфициент: 1 см2[сек — — 0,36 м2[час.

Коэфициент теплопроводности и теплоемкость металлов суще­ственно изменяются с повышением температуры, удельный же вес у изменяется незначительно. Так, для углеродистых сталей с ростом температуры от 0 до точки плавления значения у уменьшаются всего на 8—10%. Коэфициент температуропроводности а% так же как и к и с, в большой степени зависит от температуры. Зависимость теплофизических свойств малоуглеродистой стали с содержанием углерода 0,1% представлена на фиг. 4.

Частные случаи. Общее уравнение теплопроводности в ряде частных случаев можно упростить.

1. В пластине температурное поле относят к плоской сис­теме координат, так как температура по толщине пластины распределена равномерно и не зависит от координаты г (фиг. 9а),

При сварке листов в один проход это допущение близко к действитель­ности. Так как производные от температуры по координате z рав­ны нулю, = 0, диференциальное уравнение теплопроводности, описывающее плоский процесс распространения тепла, упрощается:

Подпись: (3 3)дТ_ /д2Т д2Т

dt ~~й 1к?

2.

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В стержне температура по поперечному сечению распре­делена равномерно и не зависит от у и г (фиг. 9, б), поэтому

Фиг. 9. Схемы плоского процесса распространения тепла после кратковремен-
ного нагрева тонких листов, свариваемых встык (а), и линейного процесса рас-
пространения тепла после сварки встык тонких стержней (б).

О, и линейный процесс распространения тепла опи­

сывается диференциальным уравнением

Подпись: (3.4)дТ_ д2Т dt а дх2 *

3. При стационарном процессе распростране­ния тепла каждый элемент тела получает тепла столько же, сколько отдает, сохраняя свою температуру постоянной. Условием такого процесса будет неизменность температуры в каждой точке тела по дТ

времени Т = const И — Qj = 0.

Подпись: V2T Подпись: дх2 ‘ ду2^ дг2 Подпись: (3.5)

Диференциальное уравнение теплопроводности (3.2) принимает для стационарного процесса вид уравнения Лапласа

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Подпись: (3.6)

У равнение стационарного плоского процесса, зависящего от координат х я у, (фиг. 9,а),

Уравнение стационарного линейного процесса, зависящего от координаты х (фиг. 9,6),

Подпись: (3.7)d2T dx2

Подпись:УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИустановилось стационарное распределе — В этом случае температура зависит от одной координаты х, поэтому в уравне­нии (3.7) стоит обыкновенная производ­ная. Интегрируем уравнение (3.7), тогда

£Х=С, (3.8)

т. е. градиент постоянен; второе инте­грирование приведет к уравнению про­цесса в общем виде

T^Cx + D. (3.9)

Фиг. 10. Распределение тем — Температура есть линейная функ-

пературы по толщине плоской координаты X, т. е. стационарное

стенки при стационарном лк* ^ ґ

нейном процессе распростри — распределение температуры в плоской нения тепла. стенке выражается прямой линией.

В разобранных случаях уравнения процессов были выражены в прямоугольных координатах. В дру­гих системах координат диференциальные уравнения могут при­нимать в отдельных случаях более простой вид, что дает возмож­ность получать более простые решения.