Задача оптимального проектирования отдельной конструкции включает в себя комплекс различных оптимизацион­ных проблем. Сюда входит проблема выбора конструктивной схе­мы, определение рациональных геометрических размеров, опти­мальный подбор элементов, составляющих конструкцию, и, нако­нец, подбор сечений, расчет стыков и узлов.

Примеры оптимизационных задач:

1. Оптимизация сечений двутавра, швеллера, уголка.

2. Рациональное распределение материала в конструкциях статически неопределимых ферм. В этих фермах изменение сече­ний элементов влечет за собой перераспределение усилий между стержнями. Нужно выяснить, как распорядиться сечениями стерж­ней, чтобы при удовлетворении условий прочности и устойчивости масса фермы оказалась минимальной.

3. Оптимизация основных геометрических размеров конструк­ций. При заданной нагрузке минимизируется теоретический вес

конструкции путем выбора соответствующей структуры конструк­ций, построенной из стандартных элементов.

4. Оптимизация технико-экономических показателей и выбор параметров конструкции и ее элементов с точки зрения оптималь­ного расхода металла.

Для решения любой задачи оптимизации важна типизация эле­ментов конструкции. Простейшими задачами унификации и типи­зации являются задачи о выборе ряда оптимальных параметров для серии однотипных конструкций.

В задаче оптимизации определяется совокупность средств и действий, необходимых для достижения поставленной цели. Поиск путей достижения цели составляет основную задачу теории иссле­дования операций.

Под операцией понимается совокупность мероприятий, на­правленных на решение задачи. Одной из особенностей исследова­ния операций является системный подход к рассмотрению предме­та исследования. При системном подходе элементы системы (изделия) рассматриваются во взаимосвязи друг с другом. При этом выявляются наиболее характерные факторы. Затем намеча­ют план исследования, в частности устанавливаются последова­тельность и средства для решения задачи.

Основной принцип методологии исследования операций состоит в создании модели операции и проведении исследований на этой модели. Математические модели описывают структуру изу­чаемой системы в количественных терминах. При разработке мо­дели всегда возникают два противоречивых требования: как мож­но точнее описать в модели исследуемый объект и одновременно получить модель достаточно простую, позволяющую решить зада­чу до конца. Обычно операционные модели имеют вид уравнения, выражающего общий критерий функционирования системы. Коли­чественно критерий зависит от учитываемых факторов, которые принято делить на две группы: неуправляемые, иначе их на­зывают параметрами системы, — они обычно известны, и управ­ляемые— переменные факторы, регулируя значения которых можно улучшить значение общего критерия функционирования си­стемы. Иногда в системе учитывают случайные и не полностью определенные факторы. Задача исследования состоит в установле­нии значений управляемых факторов таким образом, чтобы общий критерий функционирования достиг наилучшего значения. В мо­дель операции могут входить ограничения на управляемые пере­менные. Очень часто, если в задаче оптимизируется несколько кри­териев, требуется получить решение, не безупречно оптимальное по каждому критерию, а приемлемое сразу по нескольким критериям. Существенной частью исследования операций является поиск и принятие решения, разработка программных алгоритмов, реализу­ющих группу численных методов решения оптимизационных задач.

Оптимизационная задача представляется как задача минимиза­ции целевой функции многих переменных.

Пусть дана непрерывная и дважды дифференцируемая в неко-

торой области функция п переменных ф {Х, …, хп). Требуется найти значения аргументов дг*і,,.., х*п, при которых функция при­нимает минимальное значение. Предполагается, что искомый ми­нимум существует и достигается внутри рассматриваемой области. Другими словами ищется вектор **=argmin ф(*ь •••> *»)•

Примером такого рода постановки задач может служить зада­ча оптимизации высоты двутавровой балки. Пусть требуется из условия прочности на изгиб от воздействия момента М. подобрать сечение балки в виде сварного симметричного двутавра с высотой стенки h и толщиной листовых элементов б, изготовленного из материала с расчетным сопротивлением R. Задается отношение высоты стенки к толщине h/8—п. Ясно, что из условия прочности можно подобрать много таких сечений с различной высотой. Тре­буется найти такое значение высоты h, при котором поперечное сечение будет иметь минимальную площадь.

Если обозначить через Fn площадь полки и не делать различия между высотой балки и высотой стенки, то площадь сечения балки можно выразить формулой

F=2Fn-№>h. (23.5)

Площадь полки Fu определяется из условия прочности по формуле

Fn=M/(hR)—8h/6. (23.6)

При заданном n—h/8 с учетом формул (23.5) и (23.6) площадь сечения можно выразить через искомый параметр h:

F=2M/(hR)+2h2/(3n). (23.7)

Таким образом, задача сводится к нахождению значения h ми­нимизирующего функцию F, заданную формулой (23.7). Суть та­кого решения сводится к решению уравнения dF/dh=0, результа-

^ —————

том которого является равенство& = -]/3Mnf{2R)-

Как правило, практика порождает задачи гораздо более слож­ные, чем рассмотренная выше. Часто возникает необходимость отыскания минимума функции ф (xi,…, хп) при дополнительных ограничениях между переменными:

fi (*i,…, хп) =0 (/ = 1,…, т<п).

Математическая модель этой задачи записывается в следую­щей форме:

^^argmincp^, …, хп); (23.8)

їі (хі* •••> хп) — 0 (/ —-1 > ..•> tit). )

Если из п рассматриваемых переменных п—т переменных, обозначенных вектором и=[и{=Хт+и •••, Un-m=Xn]Т, являются управляемыми, то искомые переменные х*, обеспечивающие мини­мум функции ф (xi,…, хп), могут быть найдены из совместного решения тп уравнений (23.8) и ti—m уравнений:

;4rf«=0′ <23-9>

х — (xlt…, х„); ^ ,…, б1п у;

dfl

dh

дп

<*fi

дхг *

дХт

; h =

дах *

’ dtl-n-m

dfm

dfm

dfm

dfm

дху *

’ дхт

диг >

’ дип_т

їх^— ~ обратная матрица. Таким образом, и в этом случае задача

сведена к задаче на безусловный экстремум.

Дальнейшее усложнение оптимизационной задачи происходит при введении в нее ограничений-неравенств типа

fj(xt, …. хп)^0 (/ — 1, …, т). (23.10)

При этом ограничения-неравенства могут быть, могут и отсутство­вать. Задача с ограничениями в форме неравенств является общей задачей математического программирования. Ее математическая формулировка может быть записана в виде

х* = argmin<p (Xj, …, хп); 1

gt(xlt…. xJ^O (i=l, …, R) Г (23.11)

л/(х1> …, x„) = 0 (j = R-f-1. • ••> m). ‘

Из общей модели задачи математического программирования получаются различные модели частных задач математического программирования. Если целевая функция и ограничения линейны, то задача (23.11) становится задачей линейного программирова­ния.

Если функция цели нелинейна или нелинейно хотя бы одно из ограничений, это задача нелинейного программирования [15]. Сре­ди таких задач особую группу составляют задачи квадратичного программирования, у которых функция цели выражается в виде квадратичной функции искомых параметров, а ограничения — ли­нейные функции. Если к некоторому числу искомых параметров предъявлено дополнительное требование целочисленности, то за­дача такого рода относится к группе задач дискретного програм­мирования [46]. Большинство задач при оптимизации проектиро­вания металлоконструкций сводится, как правило, к форме задач нелинейного и дискретного программирования.

Вводимые в задачу ограничения образуют в пространстве ис­комых параметров так называемую допустимую область Q = {О^С ^Хг^Ьг), 1 = 1, …, п. Все конструкции, получаемые при различных значениях параметров, делятся соответственно на допустимые и недопустимые. Для допустимых все ограничения выполняются, для недопустимых выполняются не все ограничения. Та из допустимых конструкций оптимальна, для которой показатель качества имеет 314

экстремальное значение. В задачах оптимизации конструкций, по­казатели качества которых отличаются от оптимального, сущест­вует понятие области решений. Исследование области решений, близких к оптимальному, имеет большое практическое значение. Проектировщик, располагая всеми необходимыми сведениями об этой области, с успехом может выбрать конструкцию, наилучшим образом удовлетворяющую некоторым неформализованным крите­риям и в то же время почти оптимальную в смысле принятого показателя качества.

В качестве критериев оптимизации в задачах могут быть при­няты различные целевые функции: а) минимум массы или объема материала несущих элементов конструкции; б) минимум стоимости материала; в) минимум приведенных затрат на изготовление кон­струкции; г) максимум эффективности функционирования проек­тируемой системы.

При линейных целевой функции и ограничениях задачи успеш­но решаются методами линейного программирования [40]. В со­временной практике для решения задач линейного программирова­ния применяется широко известный симплекс-метод. Линей­ные ограничения выделяются в многомерном пространстве в виде, многогранника с конечным числом вершин, все точки которого (внутри и на поверхности) составляют допустимую область. Симп­лекс-метод предварительно определяет допустимую точку, лежа­щую на одной из вершин многогранника (опорное решение). Для отыскания оптимального решения используют специальное правило перехода к той соседней вершине многогранника, в которой значе­ние ф не больше, чем в предыдущей точке. Этот процесс продолжа­ется, пока не будет найдена вершина, в которой значение ф мини­мально.

Более часто постановка задач при проектировании металлокон­струкций сводится к нелинейным (квадратичным) целевым функ­циям, а ограничения задаются либо в виде неравенства, либо в виде равенств, либо в смешанном виде. Для решения этих задач разработан ряд методов оптимизации.

1. Метод решения задач на безусловный минимум при конеч­ном числе переменных 98]. Идея его сводится к определению

дР д2Р

необходимого -^—=0 (i—l, …, п) и достаточного atj=

(i, j= 1,…, п) условий минимума некоторой штрафной функции Р (х, (Li), которая представляет собой комбинацию

Р(х, (л) =ф(л:)+5([х)/(д:), (23.12)

составленную из заданной целевой функции ф(лг) и некоторой штрафной добавки S([i)I(x). Добавка построена из уравнений ограничений, взятых с определенным параметром (л, например

т т

H-kS gj{x) ИЛИ М-2к2 1/[£/(•*)]■ Минимум функции Р(х, |і) ищет- /=1 /=1

ся при различных значениях параметра р, определяющего меру штрафа. Значения штрафных функций, соответствующие безуслов­

ным минимумам, полученным при различных значениях парамет­ра }х, образуют последовательность, сходящуюся к точному реше­нию, определяющему точку минимума исходной целевой функции в допустимой области.

2. Метод математического программирования на основе ча­стичной или полной линеаризации исходной задачи [54]. Нелиней­ная целевая функция и нелинейные ограничения заменяются их линейными аппроксимациями в окрестности точки, рассматривае­мой на каждом интервале. Наиболее общий способ линеаризации условий задачи состоит в замене нелинейных функций ограничения членами первого порядка в соответствующих разложениях в ряд Тейлора в окрестности рассматриваемой точки. Далее многократно решается линейная задача: минимизировать

Дг = 9(^’>) + ^[е(1) (х-х«) (23.13)

при ограничениях

(х — (/=1, I п)’,

— у<х — х^ <у.

Решение задачи начинается с некоторой исходной точки х°. При заданном х° решается задача линейного программирования по условию (23.13) и определяется вектор значений (х—jt°)=s(°).

Полученная точка

je» = *°+Jlos0 (23.14)

принимается за исходную, и процесс продолжается до получения решения с заданной точностью. Метод имеет ряд модификаций, связанных с правилом выбора длины шага Я в формуле (23.14).

Для ряда нелинейных задач достаточно эффективны метод динамического программирования (метод Ф. Веллмана) [15], ме­тоды вариационного исчисления и принцип максимума Понтряги — на [79].

Обычно решение задач на ЦВМ с использованием методов ма­тематического программирования проходит в так называемом ин­терактивном режиме. Человек непосредственно вмешивает­ся в машинный процесс, вносит свои коррективы в решение зада­чи, а ЦВМ используется для решения конкретных вариантов задач линейного и нелинейного программирования. Среди интерактивных методов имеются методы, построенные в режиме диалога. Работа в режиме диалога может быть построена, например, по следующе* му правилу. Составляется некоторая такая задача, что ее решение можно поручить машине. Результаты решения выводятся машиной в обозримом компактном виде на терминалы — дисплей, графопо­строитель, телетайп. Анализируя результаты, человек принимает решение о дальнейшем ходе процесса поиска. Можно осуществить оперативное изменение исходного задания, принять решение о пре­кращении поиска или о выдаче необходимой документации, нако­нец, можно задать дополнительные условия и внести коррективы, относящиеся к направлению процесса поиска.

316

Процедура проектирования металлоконструкций с использова­нием ЭВМ в технике получила название машинного проек­тирования.